Literatur
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Definition Halbgruppe
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eine Halbgruppe ist eine Wertemenge mit einer 2-stelligen inneren Verknüpfung.
Diese Verknüpfung muss assoziativ sein.
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Klasse
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class Semigroup a where
(<>) :: a -> a -> a
infixr 6 <>
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Bei der Definition von <> muss sicher gestellt werden,
dass das Assoziativgesetz gilt.
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Assoziativgesetz
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für Semigroup
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x <> (y <> z) == (x <> y) <> z
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Eine Halbgruppe ist eine sehr schwache Struktur.
Daher sind Halbgruppen in der SW-Technik allgegenwärtig.
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Wegen des Assoziativgesetzes ist es möglich, die Auswertung von Operanden
beliebig zu gruppieren.
Dieses kann zu hohem Effizienzgewinn führen.
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Wenn ein Datentyp eine Halbgruppe ist, dann können nichtleere
Listen von Werten
zu einem Wert aufsummiert werden.
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Es gibt Halbgruppen, die keine Monoide sind.
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Instanzen |
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Halbgruppen aus der Schulzeit?
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+, *
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Listen
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instance Semigroup [a] where
(<>) = (++)
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2. Beispiel |
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Maybe a
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instance Semigroup a => Semigroup (Maybe a) where
Nothing <> b = b
a <> Nothing = a
Just a <> Just b = Just (a <> b)
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3. Beispiel |
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Zahlen
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instance Num a => Semigroup a where
(<>) = (+)
instance Num a => Semigroup a where
(<>) = (*)
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Es sind zwei Instanzen möglich, aber nur eine ist erlaubt.
Welche?
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Definition Monoid
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ein Monoid ist eine Halbgruppe mit neutralem Element.
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Klasse
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class Semigroup a => Monoid a where
mempty :: a
mappend :: a -> a -> a
mappend = (<>)
mconcat :: [a] -> a
mconcat = foldr (<>) mempty
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zusätzliche Gesetze
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für Monoide
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x <> mempty == x
mempty <> x == x
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mappend ist redundant, aber
aus Abwärtskompatibilitäts-Gründen gibt es diesen Aliasnamen noch
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Das neutrale Element kann als Default-Wert genutzt werden.
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Wenn ein Datentyp ein Monoid ist, dann können beliebig viele
Werte, auch 0 Werte,
zu einem Wert zusammen gefaltet (aufsummiert) werden.
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Instanzen |
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Halbgruppen aus der Schulzeit?
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+ mit 0, * mit 1
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Listen
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instance Monoid [a] where
mempty = []
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2. Beispiel |
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Maybe a
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instance Semigroup a => Monoid (Maybe a) where
mempty = Nothing
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3. Beispiel |
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Zahlen
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instance Num a => Monoid a where
mempty = 0
instance Num a => Monoid a where
mempty = 1
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Welche instance-Definition (+, 0)
oder (*, 1)?
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Beide sind von praktischem Nutzen, also beide aber wie?
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3. Beispiel
Zahlen richtig
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mit newtype-Wrapper
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newtype Sum a = Sum {getSum :: a}
instance Num a => Semigroup (Sum a) where
Sum x <> Sum y = Sum (x + y)
instance Num a => Monoid (Sum a) where
mempty = Sum 0
newtype Prod a = Prod {getProd :: a}
instance Num a => Semigroup (Prod a) where
Prod x <> Prod y = Prod (x * y)
instance Num a => Monoid (Prod a) where
mempty = Prod 1
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mconcat ist Σ oder Π
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Anwendung
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getSum . mconcat . map Sum $ [1..100]
getProd . mconcat . map Prod $ [1..100]
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Zahlen mit min und max?
Neutrales Element?
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Bei einem beschränkten Intervall class Bounded
größtes oder kleinstes Element.
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Zahlen
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newtype Max a = Max a
instance (Ord a) => Semigroup (Max a) where
Max x <> Max y = Max (x `max` y)
instance (Ord a, Bounded a) => Monoid (Max a) where
mempty = Max minBound
newtype Min a = Min a
instance (Ord a) => Semigroup (Min a) where
Min x <> Min y = Min (x `min` y)
instance (Ord a, Bounded a) => Monoid (Min a) where
mempty = Min maxBound
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Boolesche Algebren und Monoide?
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(&&, True) und (||, False)
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newtype All = All { getAll :: Bool }
instance Semigroup All where
All x <> All y = All (x && y)
instance Monoid All where
mempty = All True
newtype Any = Any { getAny :: Bool }
instance Semigroup Any where
Any x <> Any y = Any (x || y)
instance Monoid Any where
mempty = Any False
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mconcat als ∀ oder ∃
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Ordering |
3-wertiger Aufzählungstyp für Vergleiche
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data Ordering = LT | EQ | GT
compare :: a -> a -> Ordering
instance Semigroup Ordering where
LT <> _ = LT
EQ <> y = y
GT <> _ = GT
instance Monoid Ordering where
mempty = EQ
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mconcat als ∀ oder ∃
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2. Monoid für Maybe |
Der 1. gewinnt!
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newtype First a = First { getFirst :: Maybe a }
instance Semigroup (First a) where
First Nothing <> y = y
x <> _ = x
instance Monoid (First a) where
mempty = First Nothing
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Paare |
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instance (Semigroup a, Semigroup b) => Semigroup (a,b) where
(a1,b1) <> (a2,b2)
= (a1 <> a2, b1 <> b2)
instance (Monoid a, Monoid b) => Monoid (a,b) where
mempty = (mempty, mempty)
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Natürlich erweiterbar auf n-Tupel
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Kleinster Monoid?
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instance Semigroup () where
_ <> _ = ()
mconcat _ = ()
instance Monoid () where
mempty = ()
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? |
Maps (Tabellen) als Monoide?
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Map k v
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import Data.Map (Map, empty, unionWith)
newtype Table k v = Table (Map k v)
instance (Ord k, Semigroup v) => Semigroup (Table k v) where
Table t1 <> Table t2 = Table $
unionWith (<>) t1 t2
instance (Ord k, Monoid v) => Monoid (Table k v) where
mempty = Table empty
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praxisrelevant?
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Beispiel Worthäufigkeiten
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Funktionen |
a -> a
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Endomorphismen
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mit Funktionskomposition und Identität
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newtype Endo a = Endo { appEndo :: a -> a }
instance Semigroup (Endo a) where
Endo f <> Endo g = Endo (f . g)
instance Monoid (Endo a) where
mempty = Endo id
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Funktionen |
a -> b
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mit Semigroup/Monoid als Resultat
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instance Semigroup b => Semigroup (a -> b) where
f <> g = \ x -> f x <> g x
instance Monoid b => Monoid (a -> b) where
mempty _ = mempty
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? |
Es liegt nur eine Halbgruppe vor, aber das neutrale Element fehlt?
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Lösung?
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class Semigroup a where
(<>) :: a -> a -> a
instance Semigroup a => Monoid (Maybe a) where
Just x <> Just y = Just $ x <> y
Just x <> Nothing = Just x
Nothing <> Just y = Just y
Nothing <> Nothing = Nothing
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Monoide sind allgegenwärtig!
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Diese Beispiele und viele weiter Halbgruppen und Monoide sind
vordefiniert in Data.Semigroup und Data.Monoid
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Praktische Bedeutung des Assoziativgesetzes?
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Das Zusammenfalten mconcat kann beliebig
umgruppiert werden, also ist auch eine Parallelisierung
auf einfache Weise und ohne Änderung der Semantik möglich.
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für effiziente Algorithmen mit Monoiden
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Funktionale Programmierung: Halbgruppen und Monoide
