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Bearbeitungszeitraum: WS 2006/2007

Projekt im Bachelorstudium

4 parallele Projektgruppen

Zu einer gegebenen natürlichen Zahl n sollte in  GF (n), dem endlichen Körper mit n Zahlen, falls existent, das Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren ermöglicht werden. Dafür sollten vor allem die Rechentabellen
für Addition und Multiplikation erstellt werden. Die Benutzung von Tabellen, die in einem früheren Schritt bereits berechnet worden waren, sollte ebenfalls ermöglicht werden.

In diesem Projekt wurden Kenntnisse der Zahlentherie vorausgesetzt, wie sie an der FH Wedel im ersten Semester in der Vorlesung Diskrete Mathematik, vermittelt werden.

Zur Aufgabe gehörten im Einzelnen folgende Funktionalitäten:

1) Bestimmung der charakteristischen Größen p und r zu n (falls existent)

2) Errechnen der Additionstabelle

3) Eingabemöglichkeit für ein in GF (p) irreduzibles Polynoms vom Grad r. Der Test auf Irreduziblität musste nicht durchgeführt werden.

4) Errechnen der Multiplikationstabelle mit Hilfe des gegebenen irreduziblen Polynoms. Dazu musste eine Polynommultiplikation und Polynomdivision in GF (p) implementiert werden.

5) Speichern der Rechentabellen in einer externen Datei in einem geeigneten Format

6) Laden einer bereits zuvor erstellten Rechentabelle aus der externen Datei

7) Interaktiver Taschenrechner:
Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren zweier Zahlen in GF (n)

Jede Projektgruppe präsentierte eine Lösung, welche die Aufgabenstellung im vollen Umfang löste.

Drei Projektgruppen erstellten darüberhinaus eine für den mit Grundlagen endlicher Körper vertrauten Benutzer intuitive graphische Bedienungsoberfläche, die im Folgenden zum Download und Ausprobieren angeboten werden:

Alle Programme erzeugen zu einer vorgegebenen Zahl n = p^r die Additions- und Multiplikationstabelle des endlichen Körpers mit n Zahlen 0, 1, ..., n-1. Hierbei ist p eine Primzahl und r>0 eine beliebige natürliche Zahl. Andere Körper gibt es nicht. Die Programme ermöglichen es, wie mit einem Taschenrechner die vier Grundrechenarten innerhalb dieser Tabellen auszuführen. Man kann sich auch die gesamten Tabellen anzeigen lassen.

Zum Erstellen des Körpers ist es notwendig, ein irreduzibles Polynom vom Grad r anzugeben. Ein Polynom ist irreduzibel, wenn es sich nicht in das Produkt zweier Polynome kleineren Grades zerlegen lässt. Jedes Polynom vom Grad 1 ist irreduzibel. Für höhere Grade ist ein notwendiges (aber leider nicht hinreichendes) Kriterium die Nullstellenfreiheit. Probieren Sie einfach mehrere aus! Die Programme helfen manchmal beim Erkennen der Reduzibilität. Sie hatten Erfolg, wenn die erzeugte Multiplikationstabelle keine Nullteiler enthält.

Die Programme sind in der Regel leicht bedienbar. Voraussetzung ist aber ein grundsätzliches Verständnis von Körpern. Einige der downloads enthalten eine Dokumentation.

1) Autoren: Franziska Fuhlendorf, Andreas Stuht

Dieses Programm wurde in Delphi geschrieben. Es liegt als exe vor, die direkt ausführbar ist. Das Programm läuft nur unter Windows.

2) Autoren: Sven Kölle, Thomas Kresalek

Dieses Programm wurde in Java geschrieben. Es liegt als gezippte Klassenbibliothek mit ausführbarer runtime-batch-Datei vor. Der gesamte Ordner muss heruntergeladen und das zip ausgepackt werden. Die batch-Datei muss im selben Ordner gestartet werden. Das Programm läuft auf allen Rechnern, auf denen eine Java Virtual Machine (jdk mind. 1.5.0) installiert ist.

3) Autoren: Franziska Kühn, Imke Stoltenberg

Dieses Programm wurde in Delphi geschrieben. Es liegt als exe vor, die direkt ausführbar ist. Das Programm läuft nur unter Windows.